数学史 エジプト数学
◆はじめに
最近、数学の歴史を勉強しています。ここではその成果を一部メモ書きしてきます。
まずは古代エジプト数学です。
キーワード
ヒエログリフ、単位分数、位取記数法
全般
初めに、古代エジプトとはいつを指すのか。ここでは紀元前3200年ごろから紀元後400年までとする。古代エジプト語で文字が記述されている。
紀元前から紀元後までの長い期間の間で、数学にも趨勢があった。中王国（紀元前2000－1600ごろ）、グレコ・ローマン期（紀元前300－紀元後400年ごろ）に数学が発達した。
テクスト
当時の人はどのような文字を何で何に書いたのか。まず、書いた道具であるが当時はすすやタコのスミなどを使用したといわれている。このようなインクは紀元前5000年前から存在したといわれている。
次に何に書いたのか。これはパピルス紙というものに記述している。パピルス紙はパピルス草の茎を薄くのばし、水で濡らした板の上に縦横に並べて重ね、圧縮して水分を抜いたものである。パピルスは100年程度でボロボロになるといわれており、弟子たちはテクストをたびたび書き写していたと考えられる。
次に文字であるが、3つあると考えられている
・ヒエログリフ 聖刻文字
・ヒエラティック 神官文字
・デモティック 民衆文字
文字は右から左へと記述される。
入手したもので、現在は大英博物館に 展示されている。
エジプト数学の内容
テクストの内容は表テクストと問題テクストに分かれる。
表テクストは単なる数字の羅列で特に意味が明示されているわけではない。
問題テクストは問題とその解法から構成される。問題は赤色で示され、他の文字とは区別される。（他は黒色）問題と計算はすべて具体的数値からなり、一般的な開放は示されない。計算の結果は、検算によって確かめられる。エジプト数学のメインは、算術的であり、幾何学的ではない。
次に記載されている数字について記述する。我々の数字の記載方法は10進位取り記数法と呼ばれる。古代エジプトでは10進ではあるが、位取り記数法ではないので位が上がるごとに新しい数記号を必要とした。なお、位取りではないので、基本的にゼロという数字は必要ではない。（つまり、1010を表すためには1000と10の記号を書けばよいのであり、そこには0は必要がない。）
次に計算法を記述する。
和算と減算は記号を足したり引いたりするだけである。
積算と除法は表を使う。例えば以下のような表である。
（ヒエログリフな僕自身なじみがないので、現代風に記述する。）
この表では66×73をしている。計算結果は4818である。内容としては73×1=73, 73×5=365, 73×10=730, 73×50=3650 の和を取り、4818を計算している。
除法も同様である。
単位分数
日常生活において分配する場合に1より小さな部分を表す数が必要となる。古代エジプトにおいて、1より小さい数の表記法には単位分数法がある。単位分数とは分子が1の分数をさす。数字の上に口形の文字とその数の単位分数となる。
次に問題となるのが単位分数の倍の示し方である。その際、異なる単位分数をその和で示す方法がとられた。例えば3/4は1/2、1/4と表記する。そこには分母の小さい方を前に置くこと、使用する単位分数をできるだけ小さくすることなど暗黙の規則があった。また他にも規則があり、例えば2/5を示したい場合1/5を二つ並べる方法は認められず、1/3、1/15と表記した。
ピラミッド問題
古代エジプトで高さは「pr-m-ws（ペル・エム・ウス）」 で示されます。これがギリシャ語で「ピュラミス」となり、そこから「ピラミッド」という語が成立しました。古代エジプトではピラミッドの問題がいくつかありまして、ここでは事例を2つ紹介します。
切頭ピラミッドの問題：上面が1辺の長さ2の正方形で、底面が1辺の長さ4の正方形、高さが6の正四角錐台の体積を求めている。その解は56と記されていて、正しい解である。
セケド問題：ピラミッド全体の底辺の長さと、ピラミッドの高さから、斜辺の長さが分かる。
これらの問題の特徴は、ともに図形の問題であるけれども幾何学的な証明がなく具体的な数値計算のみが行われているという点。この意味ではエジプト数学は幾何学ではなく算術計算であったということが確認できる。
また、ピラミッドに数学が用いられており、実用数学に重きが置かれていたということが分かる。切頭ピラミッド問題は資材量の計算に、セケド問題はピラミッドの高さを計算するために利用できる。
文化背景
エジプト数学はどのように用いられていたのかという話をする。エジプト数学は書記の人々に利用されていた。
書記の仕事は報酬や労働など実務的な計算をすることであった。数字の特性を知るために数学を使用していたわけではない。
なお、書記は肉体労働をしなくてもよいため、エリートと考えられていた。現代では数学者の地位が貶められていると思うが、当時は立派なものだったのである。
感想
エジプトでは実務的な数学を利用していた。表記法や計算法は現代と異なる点も多く、興味深い。非常に面白いので、勉強してみよう。
